2017/02/01

Mantıksal tümevarım

Geçen sene ispatlanması gereken basit bir teorem olduğunda hoca bunun ispatının çok kolay olması lazım dedi. Kolay olup olmadığını bilmiyorduk tabii. Sonra iki gün içinde gördük ki öyleymiş, daha önceki ispatların basit bir şekilde modifiye edilmesi yeterliymiş. Bir ispatın olup olmaması 0 veya 1 fakat ispat yapılmadan önceki inançlar aslında 0 veya 1 değil. Yani ispatın kolay olması lazım demek aslında ispatın varlığı olasılığının yüksek olduğu anlamına geliyor. Nerde? Elbette söyleyen kişinin algısında (subjective probability). Yani mantıksal bir önerme hakkında a priori inançlarımız (prior) ve sonuç olarak belirsizliğimiz olabiliyor (logical uncertainty).

Bu aslında matematikçilerin sürekli yaptıkları bir şey: Örnek olarak en ünlülerinden biri, ikiz asallar hipotezi, verilebilir. Hipotez aralarında 2 fark olan asalların sonsuza kadar gittiğini söylüyor, 11-13, 17-19 vesaire. Yakın zamana kadar bu hipotezin doğruluğuna dair çok az şey biliniyorken, bir matematikçinin iki ardışık asalın arasındaki farkın sonlu olduğunu göstermesiyle matematikçiler epey bir umutlandılar. Umutlanmak ne demek? İspatın varlığına dair inançları arttı. Yani ispatın varlığına dair olasılıklarını güncellediler ve artık ispatı daha olası görmeye başladılar...

Peki bu olasılıklar hesaplanabilir mi? Mantıksal önermeler üzerinde olasılıklar tanımlanabilir ve Bayesvari şekilde güncellenebilir mi?
Every student of mathematics has experienced uncertainty about conjectures for which there is “quite a bit of evidence”, such as the Riemann hypothesis or the twin prime conjecture. Indeed, when Zhang (2014) proved a bound on the gap between primes, we were tempted to increase our credence in the twin prime conjecture. But how much evidence does this bound provide for the twin prime conjecture? Can we quantify the degree to which it should increase our confidence? 
The natural impulse is to appeal to probability theory in general and Bayes’ theorem in particular. Bayes’ theorem gives rules for how to use observations to update empirical uncertainty about unknown events in the physical world. However, probability theory lacks the tools to manage uncertainty about logical facts. 
Bu paragraf şu makalenin girişinden. Makalenin özet versiyonu da var. İlginç olduğu kadar da uzun bir makale! Şimdilik hakkıyla okuyacak vakit yok ama olursa teknik özetimi almost stochastic'e yazarım.

Başka güzel bir şey var bu çalışmayla ilgili: Problemi finans terimleriyle formüle etmişler. Önermeleri pricing kavramıyla evcilleştirmişler (quantify'a iyi bir çeviri bulamadım!). Valla aklıma gelmişti. Başka bir kontekstte gelmişti (bilimsel fikirler nasıl fiyatlanabilir?) ama bu da epey iyi.

Son olarak çalışma bir enstitüten. Bağış toplayarak varlıklarını idame ettiriyorlar. AI temalı bir enstitü olduğu için para bulması çok zor olmuyordur muhtemelen. Bana sorarsanız azıcık teorik matematik departmanı gibi olmuşlar, ki, daha iyi. Mis gibi model.